Critical behavior of coupled oscillators; Renormalization group and universality class
Comportement critique d'oscillateurs couplés ; Groupe de renormalisation et classe d'universalité
Résumé
The astonishing efficiency of the auditory organ of mammals is particularly due to the generic properties of the coupled critical oscillators which make up the system. This thesis presents a study of the generic critical properties of spatially extended systems of coupled stochastic oscillators, operating in the proximity of a uniform oscillatory instability or Hopf bifurcation. In this context, this bifurcation constitutes an out of equilibrium critical point with universal features, which are canonically described by the complex Ginzburg-Landau equation in the presence of noise. The formulation of the problem in terms of a non-Hamiltonian dynamical statistical field theory allows us to study the critical behavior of the system by using perturbative renormalization group techniques.
In a particular case, an exact analogy with the O(2) dynamical model allows us to write a generalized fluctuation-dissipation relation and to deduce the critical behavior directly from previous studies. In the general case, we establish the structure of the renormalization group of the theory in a 4-epsilon dimensional space, using adapted Wilson and Callan-Symanzik schemes. The presence of a characteristic frequency in the system - the frequency of the spontaneous oscillations at the transition - imposes to perform a scale-dependant frame transformation during the renormalization procedure. We perform two-loop order calculations in perturbation theory, and show that the universality class of the model is described, in a suited oscillating frame, by the fixed point of the dissipative O(2) dynamics. Then, while the dynamics is highly out of equilibrium and breaks the detailed-balance relations, a generalized fluctuation-dissipation relation is asymptotically recovered at the transition. This relation imposes strong constraints on the main experimental observables: the two-point correlation function and the linear response function to an external sinusoidal stimulus.
Les étonnantes performances de l'organe auditif des mammifères sont notamment dues aux propriétés génériques des oscillateurs critiques couplés qui constituent le système. Cette these présente une étude des propriétés critiques génériques des systèmes spatialement étendus d'oscillateurs stochastiques couples, opérant dans le voisinage d'une instabilité oscillante homogène ou bifurcation de Hopf. Dans ce contexte, cette bifurcation constitue un point critique dynamique hors équilibre, exhibant des propriétés universelles qui sont canoniquement décrites par l'équation Ginzburg-Landau complexe en presence de bruit. La formulation du problème en termes d'une théorie statistique dynamique des champs non hamiltonienne nous permet d'étudier le comportement critique du système à l'aide des techniques de la renormalisation dynamique perturbative.
Dans un cas particulier, une analogie exacte avec le modèle O(2) dynamique nous permet d'écrire une relation généralisée de la relation fluctuation-dissipation et de déduire le comportement critique du système directement à partir des études antérieures. Dans le cas general, nous établissons la structure du groupe de renormalisation de la théorie dans un espace de dimension 4-epsilon, en lui adaptant les schemas de renormalisation de Wilson et de Callan-Symanzik. La présence d'une fréquence caractéristique dans le système - la fréquence des oscillations spontanées à la transition - impose d'associer aux transformations de renormalisation un changement de référentiel oscillant dépendant de l'échelle. Nous effectuons le calcul à l'ordre de deux boucles en théorie des perturbations, et montrons que la classe d'universalité du modèle est décrite par le point fixe du modèle dynamique dissipatif O(2) dans un référentiel oscillant bien choisi. Ainsi, bien que la dynamique soit hautement hors équilibre et brise les relations de bilan détaillé, une relation fluctuation-dissipation généralisée est asymptotiquement restaurée à la transition. Cette relation prévoit l'existence de fortes contraintes sur les principales observables expérimentales : la fonction de correlation a deux points et la fonction de réponse linéaire à un stimulus sinusoidal.