On N-body homographic motions with positive and negative masses, the particular case with vanishing total mass, and an application to the search for perverse choreographies.
Sur les mouvements homographiques de N corps associés à des masses de signe quelconque, le cas particulier où la somme des masses est nulle, et une application à la recherche de chorégraphies perverses.
Résumé
The thesis was prepared at the Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des Ephémérides of the Observatory of Paris, from September 2001 to April 2005, under the supervision of Prof. Alain Chenciner and Dr. Alain Albouy. It deals with the N-body problem, which is based on the study of solutions of Newton's equations. These equations describe the motion of N punctual particles interacting through gravitation. The thesis is more precisely linked to homographic solutions (the ratios between the mutual distances are constant) with positive and negative masses. Rigid motions (the mutual distances are constant) are studied. This problem is more difficult than the problem with positive masses because it is no more possible to define a scalar product thanks to the masses.
We are interested in the case where the total mass vanishes. The center of inertia becomes a vector, which is invariant under translation. This makes Newton's equations "more integrable". Thus, under an assumption on the initial velocities, the collinear three-body problem becomes integrable. This property enables to compute central configurations (configurations which generate a homothetic collapse onto a center) for masses x, -x, y, -y.
A property of absolute equilibria with vanishing total mass is applied to the problem of choreographies. A choreography is a solution such that the bodies chase each other on the same curve with the same phase shifts. It is shown that, for a logarithmic potential, the masses of a choreography are necessarily equal.
We are interested in the case where the total mass vanishes. The center of inertia becomes a vector, which is invariant under translation. This makes Newton's equations "more integrable". Thus, under an assumption on the initial velocities, the collinear three-body problem becomes integrable. This property enables to compute central configurations (configurations which generate a homothetic collapse onto a center) for masses x, -x, y, -y.
A property of absolute equilibria with vanishing total mass is applied to the problem of choreographies. A choreography is a solution such that the bodies chase each other on the same curve with the same phase shifts. It is shown that, for a logarithmic potential, the masses of a choreography are necessarily equal.
Cette thèse a été préparée à l'Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des Ephémérides de l'Observatoire de Paris, de septembre 2001 à avril 2005, sous la direction de MM. Alain Chenciner et Alain Albouy. Elle traite du problème des N corps, qui consiste en l'étude des solutions des équations de Newton. Celles-ci décrivent le mouvement de N particules ponctuelles en interaction gravitationnelle. Cette thèse a plus précisément pour objet l'étude des solutions homographiques (les rapports entre les distances mutuelles sont constants) associées à des masses de signe quelconque. On étudie le cas des mouvements rigides (les distances mutuelles sont constantes). Ce problème est plus difficile que le problème à masses positives, car il n'est plus possible d'associer un produit scalaire aux masses.
On s'intéresse au cas où la somme des masses est nulle. Le centre d'inertie devient alors un vecteur, invariant par translation. Ceci rend les équations de Newton "plus intégrables". Ainsi, sous une hypothèse sur les vitesses initiales, le problème colinéaire des trois corps devient intégrable. Cette propriété permet de calculer les configurations centrales (configurations qui engendrent un effondrement homothétique sur un centre) pour des masses x, -x, y, -y.
On applique une propriété des équilibres absolus à somme des masses nulle au problème des chorégraphies. Une chorégraphie est une solution dans laquelle les corps se suivent sur la même courbe avec des intervalles de temps égaux. On montre que, pour le potentiel logarithmique, les masses d'une chorégraphie sont nécessairement égales.
On s'intéresse au cas où la somme des masses est nulle. Le centre d'inertie devient alors un vecteur, invariant par translation. Ceci rend les équations de Newton "plus intégrables". Ainsi, sous une hypothèse sur les vitesses initiales, le problème colinéaire des trois corps devient intégrable. Cette propriété permet de calculer les configurations centrales (configurations qui engendrent un effondrement homothétique sur un centre) pour des masses x, -x, y, -y.
On applique une propriété des équilibres absolus à somme des masses nulle au problème des chorégraphies. Une chorégraphie est une solution dans laquelle les corps se suivent sur la même courbe avec des intervalles de temps égaux. On montre que, pour le potentiel logarithmique, les masses d'une chorégraphie sont nécessairement égales.
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