McKay correspondence and derived equivalences
Correspondance de McKay et equivalences derivees
Résumé
The first chapter shows by toric methods ($G-$graphs) that for any positive integer $n$, the quotient of the affine $n-$dimensional space by the cyclic group $G_n$ of order $2^n-1$ has the $G_n-$Hilbert scheme as smooth crepant resolution. The second chapter contains results on algebraic stacks (construction of a smooth algebraic stack associated to a log-pair). The third chapter shows the equivalence of the bounded derived category of $G_n-$equivariant coherent sheaves on the affine space with that of coherent sheaves on the resolution $G_n-$Hilb. Chpater 4 gives a geometric equivalent of Broué's conjecture via the McKay correspondence. The Annexe contains results on trihedral groups, including a magma programme.
Le premier chapitre montre par des méthodes toriques ($G-$graphes) que pour tout entier positif $n$, le quotient de l'espace affine à $n$ dimensions par le groupe cyclique $G_n$ d'ordre $2^n-1$ admet le $G_n$-schema de Hilbert comme résolution lisse crepante. Le deuxième chapitre contient des résultats sur les champs algébriques (construction du champ algébrique lisse associé à une log-paire). Le troisième chapitre montre l'équivalence entre la catégorie dérivée bornée des faisceaux cohérents $G_n-$équivariants sur l'espace affine et celle des faisceaux cohérents sur la résolution $G_n-$Hilb. Chapitre 4 donne une réalisation géométrique de la conjecture de Broué via la correspondance de McKay. L'annexe contient des résultats sur les groupes trihédraux, y compris un programme magma.
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