Zero order estimates and functional relations
Lemmes de zéros et relations fonctionnelles
Résumé
The thesis is devoted to Multiplicity Estimates, a type of results widely used in transcendence theory. Starting from the works of A.B.Shidlovskii, W.D.Brownawell and D.W.Masser it was a cornerstone in proofs of transcendence and mostly algebraic independence. For example, it is one of the important steps in Nesterenko's proof of his famous result concerning algebraic independence of values of Ramanujan's. One other statement of this type is a famous result of K.Nishioka (previously conjectured by Mahler) allowing one to prove many interesting transcendence results on some series related to linear recurrence sequences and the so-called automatic sequences. The objective of this thesis is a thorough study, in a general frame, of multiplicity lemmata, leading to improvements of known results on algebraic independence. Our multiplicity lemma, proved in a quite general situation, answers a question raised in the article "Indépendance algébrique et K-fonctions" of P.Philippon (J. reine angew. Math. 497), complementing in many interesting situations the method presented in this reference. It reduces the proof of multiplicity estimates to the study of ideals stable under some appropriate algebraic transformation. In particular, this theorem allows to improve slightly a result of Nesterenko concerning solutions of systems of differential equations. In the same time this theorem provides, under some condition concerning stable varieties, the estimation with the best possible exponent in the case of solutions of systems of functional equations. The latter result leads to the study of irreducible varieties stable under some rational transformation, a subject interesting on its own.
La thèse est consacrée aux estimations de multiplicité. Ce type de résultats est utilisé en théorie de la transcendance. A partir des travaux de A. B. Shidlovskii, W.D.Brownawell et D.W.Masser il sont régulièrement utilisés dans les preuves de transcendance et surtout d'indépendance algébrique. Par exemple, la démonstration du lemme de multiplicité est un élément très important de la preuve par Yu. Nesterenko du résultat sur l'indépendance algébrique des valeurs des fonctions de Ramanujan. Un autre résultat de ce type est une preuve par K.Nishioka d'une conjecture de K.Mahler. Ce lemme de multiplicité a permis de démontrer beaucoup de résultats concernant la transcendance des séries liées aux suites récurrentes et des suites engendrées par des automates finis. Le but de ce mémoire est l'étude approfondie, dans un cadre général, des lemmes de multiplicité conduisant à des améliorations de résultats d'indépendance algébrique connus. Le théorème principal de ce travail réduit la preuve des estimations de multiplicité à l'étude des idéaux stables sous une transformation algébrique. En particulier, ce théorème permet d'améliorer un peu le résultat de Yu.Nesterenko concernant les solutions de système d'équations différentielles. Dans le même temps ce théorème donne, sous une condition concernant des variétés stables, l'estimation avec l'exposant le meilleur possible dans le cas de solutions d'équations fonctionnelles. Ce dernier résultat conduit à l'étude des variétés irréductibles stables sous une transformation rationnelle, ceci semble d'être un sujet intéressant en soi.
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