Non-standard Hilbert function and graded Betti numbers of powers of ideals

Fonction de Hilbert non standard et nombres de Betti gradués des puissances d'idéaux

Kamran Lamei (1)

1 IMJ-PRG (UMR_7586) - Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche

Using the concept of vector partition functions, we investigate the asymptotic behavior of graded Betti numbers of powers of homogeneous ideals in a polynomial ring over a field. For a positive Z-grading, our main result states that the Betti numbers of powers is encoded by finitely many polynomials. More precisely, Z^2 can be splitted into a finite number of regions such that, in each of them, dim_k Tor^{S}_{i} (I^t,k)μ is a quasi-polynomial in (μ,t). This refines, in a graded situation, the result of Kodiyalam on Betti numbers of powers in [33]. The main statement treats the case of a power products of homogeneous ideals in a Z^d -graded algebra, for a positive grading, in the sense of [37] and it is also generalizes to I -good filtrations . In the second part , using the parametric version of Barvinok’s algorithm, we give a closed formula for non-standard Hilbert functions of polynomial rings, in low dimensions.

En utilisant le concept des fonctions de partition , nous étudions le comportement asymptotique des nombres de Betti gradués des puissances d’idéaux homogènes dans un polynôme sur un corp.Pour un Z-graduer positif, notre résultat principal affirme que les nombres de Betti des puissances est codé par un nombre fini des polynômes. Plus précisément, Z^2 peut être divisé en un nombre fini des régions telles que, dans chacun d’eux, dimk Tor^{S}_{i} (I^t,k)μ est un quasi-polynôme en (μ,t). Ce affine, dans une situation graduée, le résultat de Kodiyalam sur nombres de Betti des puissances dans [33].La déclaration principale traite le cas des produits des puissances d’idéaux homogènes dans un algèbre Z^d -graduée , pour un graduer positif, dans le sens de [37] et il est généralise également pour les filtrations I -good.Dans la deuxième partie, en utilisant la version paramétrique de l’algorithme de Barvinok, nous donnons une formule fermée pour les fonctions de Hilbert non-standard d’anneaux de polynômes, en petites dimensions.

Mots clés: Betti numbers; Non-standart Hilbert functions

Mots clés: Nombres de Betti; Fonction de Hilbert non standard; Fonction de partition vectorielle; Régularité de Castelnuovo-Mumford; Filtrations I-Good; Points du réseau

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Kamran Lamei. Non-standard Hilbert function and graded Betti numbers of powers of ideals. General Mathematics [math.GM]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2014. English. ⟨NNT : 2014PA066368⟩. ⟨tel-01127921⟩