Substructuring methods for Stokes
Méthodes de sous-domaines pour le système de Stokes
Résumé
The purpose of this thesis is to develop a domain decomposition method suitable to solve the Stokes system discretized with stable mixte finite elements where pressure is continuous such as Hood-Taylor and Mini. The new method arises from the combinaison of FETI applied to the velocity and BDD applied to the pressure without decoupling the unknowns. It inherits and decouples the coarse projectors included in FETI and BDD. The methodology leads to a symmetric, positive semi-definite linear system that we solve by projected preconditioned conjugate gradient. The method contains two sparse coarse preconditionners and exact local preconditionners that ensure its scalability, its robustness and its efficiency. We use local projectors constructed from the constant pressure modes of the subdomains that enable an extension to mixte finite elements with discontinuous pressure and that make the coarse problem of BDD optional even in the presence of pressure on the interfaces. We have easily applied the method to incompressible and almost incompressible elasticity and it can be extended the same way to other saddle-point systems arising from minimization problems under constraints due to its algebraic property.
L’objectif de cette thèse est de développer une méthode de décomposition de domaine pour la résolution du système de Stokes discrétisé avec les éléments finis mixtes stables où la pression est continue comme Hood-Taylor et Mini. La nouvelle méthode résulte de la combinaison de FETI qui est appliquée à la vitesse et de BDD qui est appliquée à la pression sans découpler les inconnues. Elle hérite et découple les projecteurs grossiers associés à FETI et à BDD. La méthodologie débouche sur un système linéaire symétrique, semi-défini positif que nous avons résolu par la méthode du gradient conjugué projeté préconditionné. La méthode contient deux préconditionneurs grossiers creux et des pré-conditionneurs locaux exacts qui assurent son extensibilié, sa robustesse et son efficacité. L’introduction de projecteurs locaux construits à partir des modes de pression des sous-domaines étend la méthode aux éléments finis mixtes discontinues en pression et rend le problème grossier de BDD facultatif même en présence de la pression aux interfaces. Nous avons aisément appliqué la méthode à l’élasticité incompressible et quasi-incompressible et elle peut s’étendre de la même façon au cadre plus général des systèmes de point-selle issus des problèmes de minimisation sous contraintes grâce à sa nature algébrique.
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