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Reports (Research Report) Year : 2012

Modeling and simulation of a grand piano.

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Abstract

The purpose of this study is the time domain modeling and numerical simulation of a piano. We aim at explaining the vibratory and acoustical behavior of the piano, by taking into account the main elements that contribute to sound production. The soundboard is modeled as a bidimensional thick, orthotropic, heterogeneous, frequency dependant damped plate, using Reissner Mindlin equations. The vibroacoustics equations allow the soundboard to radiate into the surrounding air, in which we wish to compute the complete acoustical field around the perfectly rigid rim. The soundboard is also coupled to the strings at the bridge, where they form a slight angle from horizontal. Each string is modeled by a one dimensional damped system of equations, taking into account not only the transversal waves excited by the hammer, but also the stiffness thanks to shear waves, as well as the longitudinal waves arising from geometric nonlinearities. The hammer is given an initial velocity that projects it towards a choir of strings, before being repelled. The interacting force is a nonlinear function of the hammer compression. The final piano model that will be discretized is a coupled system of partial differential equations, each of them exhibiting specific difficulties (nonlinear nature of the string system of equations, frequency dependant damping of the soundboard, great number of unknowns required for the acoustic propagation), in addition to couplings' inherent difficulties. On the one hand, numerical stability of the discrete scheme can be compromised by nonlinear and coupling terms. A very efficient way to guarantee this stability is to construct a numerical scheme which ensures the conservation (or dissipation) of a discrete equivalent of the continuous energy, across time steps. A major contribution of this work has been to develop energy preserving schemes for a class of nonlinear systems of equations, in which enters the string model. On the other hand, numerical efficiency and computation time reduction require that the unknowns of each problem's part, for which time discretization is specific, hence different, be updated separately. To achieve this artificial decoupling, adapted Schur complements are performed after Lagrange multipliers are introduced. The potential of this time domain piano modeling is emphasized by realistic numerical simulations. Beyond greatly replicating the measurements, the program allows us to investigate the influence of physical phenomena (string stiffness or nonlinearity), geometry or materials on the general vibratory behavior of the piano, sound included. Spectral enrichment, ''phantom partials'' and nonlinear precursors are clearly revealed when large playing amplitudes are involved, highlighting how this approach can help better understand how a piano works.
Cette étude porte sur la modélisation et la simulation numérique d'un piano, en domaine temporel, par modéles physiques. Nous souhaitons rendre compte du comportement vibratoire et acoustique du piano, en prenant en compte les éléments principaux qui contribuent á la production du son. La table d'harmonie est modélisée par une équation bidimensionnelle de plaque épaisse, le systéme de Reissner Mindlin, pour un matériau orthotrope et hétérogéne, dont l'amortissement dépend de la fréquence. Grâce aux équations de la vibroacoustique, la table rayonne dans l'air, dans lequel on souhaite calculer le champ acoustique complet autour de la ceinture du piano, que l'on suppose rigide. La table d'harmonie est d'autre part sollicitée par les cordes, á travers le chevalet où elles présentent un léger angle par rapport au plan horizontal. Chaque corde est modélisée par un systéme d'équations monodimensionnelles amorties dans lequel on prend en compte non seulement les ondes transversales excitées par le marteau, mais aussi la raideur á travers les ondes de cisaillement, ainsi que le couplage avec les ondes longitudinales provenant de la prise en compte des non linéarités géométriques. Le marteau est lancé avec une vitesse initiale vers un ch\oe ur de cordes, contre lequel il s'écrase avant d'être repoussé par les cordes. La force d'interaction dépend de fa\c con non linéaire de l'écrasement du marteau. Le modéle complet de piano, que l'on souhaite résoudre numériquement, consiste donc en un systéme couplé d'équations aux dérivées partielles, dont chacune revêt des difficultés de nature différente : la corde est régie par un systéme d'équations non linéaires, la table d'harmonie est soumise á un amortissement dépendant de la fréquence, la propagation acoustique requiert un trés grand nombre d'inconnues ; auxquelles s'ajoute la difficulté inhérente aux couplages. D'une part, la stabilité numérique du schéma discret peut être compromise par la présence d'équations non linéaires et de nombreux couplages. Une méthode efficace pour garantir cette stabilité a priori est de construire un schéma qui conserve, ou dissipe, un équivalent discret de l'énergie physique d'un pas de temps au suivant. Une contribution majeure de ce travail a été de développer des schémas préservant une énergie discréte pour une classe de systémes non linéaires dans laquelle s'inscrit le modéle de corde. D'autre part, afin d'augmenter l'efficacité de la méthode et de réduire le coût des calculs numériques, il est souhaitable de mettre á jour de fa\c con découplée les inconnues liées aux différentes parties du probléme, sur lesquelles la discrétisation en temps est faite de fa\c con différente, afin de s'adapter aux spécificités de chacune. L'introduction de multiplicateurs de Lagrange nous permet de réaliser ce découplage artificiel grâce á des compléments de Schur adaptés. L'utilisation du code de calcul en situation réaliste montre le potentiel d'une telle modélisation d'un piano complet en domaine temporel. Au delá de trés bien reproduire les mesures, il est possible d'étudier l'influence de certains phénoménes physiques (corde raide, non linéaire), de la géométrie ou encore des matériaux utilisés sur le comportement vibratoire général du piano, et sur le son en particulier. L'enrichissement spectral, ainsi que l'apparition des ''partiels fantômes'' et du précurseur non linéaire sont clairement mis en évidence pour les grandes amplitudes de jeu, soulignant l'intérêt de notre approche dans la compréhension du fonctionnement de l'instrument.
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Dates and versions

hal-00768234 , version 1 (21-12-2012)
hal-00768234 , version 2 (12-02-2013)
hal-00768234 , version 3 (12-02-2013)

Identifiers

  • HAL Id : hal-00768234 , version 3

Cite

Juliette Chabassier, Antoine Chaigne, Patrick Joly. Modeling and simulation of a grand piano.. [Research Report] RR-8181, INRIA. 2012, pp.29. ⟨hal-00768234v3⟩
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