Continuous Galerkin methods for solving Maxwell equations

Résolution des équations de Maxwell avec des éléments finis de Galerkin continus

Erell Jamelot (1)

1 POEMS - Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation

Maxwell equations are easily solved when the computational domain is regular, but if it presents geometrical singularities (reentrant corners in 2D, reentrant corners and edges in 3D), the electromagnetic field is locally unbounded close to these singularities. We are interested in computing solutions to Maxwell equations in singular bounded domains with continuous finite elements. It allows to model communication devices such as wave-guides, stub filters. We first analyse the 2D quasi-electrostatic problem, in order to control space discretization. We present three (mixed) augmented methods, which show very convincing numerical results: - A refined version of the singular complement method (essential boundary conditions). - The weighted regularization method: Maxwell-Gauss equation is multiplied by a suitable weight, which depends on the distances to the geometrical singularities (essential boundary conditions). - The method with natural boundary conditions. We study then the extension of these methods to 3D domains. We give details of the resolution of time-dependent Maxwell equations in singular 3D domains with the weight regularization method, and we give original numerical results.

Les equations de Maxwell se resolvent aisement lorsque le domaine d'etude est regulier, mais lorsqu'il existe des singularites geometriques (coins rentrants en 2D, coins et aretes rentrants en 3D), le champ electromagnetique est localement non borne au voisinage de ces singularites. Nous nous interessons a la resolution des equations de Maxwell dans des domaines bornes, singuliers, a l'aide de methodes d'elements finis continus. En pratique, cela permet de modeliser des instruments de telecommunication comme les guides d'onde, les filtres a stubs. Nous analysons tout d'abord le probleme quasi-electrostatique 2D, afin de maitriser la discretisation en espace. Nous presentons trois methodes de calcul (formulations augmentees mixtes) qui donnent des resultats numeriques tres convaincants : - Une version epuree de la methode du complement singulier (conditions aux limites essentielles). - La methode de regularisation a poids : on introduit un poids qui depend des distances aux singularites geometriques (conditions aux limites essentielles). - La methode avec conditions aux limites naturelles. Nous etudions ensuite la generalisation de ces methodes aux domaines 3D. Nous detaillons la resolution des equations de Maxwell instationnaires en domaines singuliers 3D par la methode de regularisation a poids, et nous donnons des resultats numeriques inedits.

Mots clés: Electromagnetism; Maxwell equations; Singularities; Reentrant corners; Finite elements; Singular domain; Singular complement method; Weighted regularization method.

Mots clés: Methode de regularisation a poids; Electromagnetisme; Equations de Maxwell; Singularites; Coins rentrants; Elements finis; Domaines singuliers; Methode du complement singulier; Methode de regularisation a poids.

Domaines: Mathématiques [math]; Autre; Modélisation et simulation

Erell Jamelot. Résolution des équations de Maxwell avec des éléments finis de Galerkin continus. Mathématiques [math]. Ecole Polytechnique X, 2005. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00440043⟩