Calcul stochastique via régularisation en dimension infinie avec perspectives financières
Infinite dimensional calculus via regularization with financial motivations
Résumé
This thesis develops some aspects of stochastic calculus via regularization to Banach valued processes. An original concept of Chi-quadratic variation is introduced, where Chi is a subspace of the dual of a tensor product B⊗B where B is the values space of some process X process. Particular interest is devoted to the case when B is the space of real continuous functions defined on [-τ,0], τ>0. Itô formulae and stability of finite Chi-quadratic variation processes are established. Attention is deserved to a finite real quadratic variation (for instance Dirichlet, weak Dirichlet) process X. The C([-τ,0])-valued process X(•) defined by X_t(y) = X_{t+y}, where y ∈ [-τ,0], is called window process. Let T >0. If X is a finite quadratic variation process such that [X]_t = t and h = H(X_T(•)) where H:C([-T,0])→R is L^{2}([-T,0])-smooth or H non smooth but finitely based it is possible to represent h as a sum of a real H_0 plus a forward integral of type \int_0^T \xi d^-X where H_0 and \xi are explicitly given. This representation result will be strictly linked with a function u:[0,T]x C([-T,0])→R which in general solves an infinite dimensional partial differential equation with the property H_{0}=u(0, X_{0}(•)), \xi_t=Du(t, X_{t}(•))({0}). This decomposition generalizes important aspects of Clark-Ocone formula which is true when X is the standard Brownian motion W. The financial perspective of this work is related to hedging theory of path dependent options without semimartingales.
Ce document de thèse développe certains aspects du calcul stochastique via régularisation pour des processus X à valeurs dans un espace de Banach général B. Il introduit un concept original de Chi-variation quadratique, où Chi est un sous-espace du dual d'un produit tensioriel B⊗B, muni de la topologie projective. Une attention particulière est dévouée au cas où B est l'espace des fonctions continues sur [-τ,0], τ>0. Une classe de résultats de stabilité de classe C^1 pour des processus ayant une Chi-variation quadratique est établie ainsi que des formules d'Itô pour de tels processus. Un rôle significatif est joué par les processus réels à variation quadratique finie X (par exemple un processus de Dirichlet, faible Dirichlet). Le processus naturel à valeurs dans C[-τ,0] est le dénommé processus fenêtre X_t(•) où X_t(y) = X_{t+y}, y ∈ [-τ,0]. Soit T>0. Si X est un processus dont la variation quadratique vaut [X]_t = t et h = H(X_T(•)) où H:C([-T,0])→ R est une fonction de classe C^3 Fréchet par rapport à L^2([-T,0] ou H dépend d'un numéro fini d' intégrales de Wiener, il est possible de représenter h comme un nombre réel H_0 plus une intégrale progressive du type \int_0^T \xi d^-X où \xi est un processus donné explicitement. Ce résultat de répresentation de la variable aléatoire h sera lié strictement à une fonction u:[0,T] x C([-T,0])→R qui en général est une solution d'une equation au derivées partielles en dimension infinie ayant la proprieté H_0=u(0, X_0(•)), \xi_t=Du(t, X_t(•))({0}). A certains égards, ceci généralise la formule de Clark-Ocone valable lorsque X est un mouvement brownien standard W. Une des motivations vient de la théorie de la couverture d'options lorsque le prix de l'actif soujacent n'est pas une semimartingale.
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