Complexities for nonholonomic systems
Complexités pour les systèmes non-holonomes
Résumé
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Cette these de geometrie sous-riemannienne s'articule en deux parties. Une premiere partie est consacree a l'etude de deux quantites dont on montrera qu'elles sont equivalentes, la complexite de la planification de trajectoires non-holonomes d'une part, et d'autre part la mesure d'entropie des sous-varietes unidimensionnelles. On estime ces quantites en fonction des coordonnees de la tangente a une sous-variete dans une base de l'algebre de lie de controle et du vecteur de croissance. Il apparait en particulier que la dimension de hausdorff peut etre non seulement superieure a la dimension topologique, mais egalement non entiere. On presente de plus une methode de planification de mouvements non-holonomes basee sur un resultat dans les algebres de lie libres : pour tout element p d'une algebre de lie libre l(x 1,, x m), exp(p) peut etre approxime a tout ordre par un produit de facteurs elementaires exp(a ix i). Dans la deuxieme partie de ce memoire, on s'interesse aux proprietes de l'algebre de lie de controle pour des classes de systemes particuliers. On traite d'abord un exemple significatif, le systeme de controle de la voiture a n remorques, pour lequel on determine completement la structure de l'algebre de lie en calculant en chaque point le vecteur de croissance. Enfin on considere les systemes de controle algebriques en dimension 3. On donne pour ces systemes une borne optimale pour le degre de non-holonomie. Ce calcul repose sur une estimation de la multiplicite d'un polynome sur la trajectoire d'un champ de vecteur polynomial que l'on obtient en utilisant une technique d'estimation de multiplicites d'intersections pfaffiennes.