Comportement critique d'oscillateurs couples ; Groupe de renormalisation et classe d'universalite
Résumé
The astonishing efficiency of the auditory organ of mammals is particularly due to the generic properties of the coupled critical oscillators which make up the system. This thesis presents a study of the generic critical properties of spatially extended systems of coupled stochastic oscillators, operating in the proximity of a uniform oscillatory instability or Hopf bifurcation. In this context, this bifurcation constitutes an out of equilibrium critical point with universal features, which are canonically described by the complex Ginzburg-Landau equation in the presence of noise. The formulation of the problem in terms of a non-Hamiltonian dynamical statistical field theory allows us to study the critical behavior of the system by using perturbative renormalization group techniques. In a particular case, an exact analogy with the O(2) dynamical model allows us to write a generalized fluctuation-dissipation relation and to deduce the critical behavior directly from previous studies. In the general case, we establish the structure of the renormalization group of the theory in a 4-epsilon dimensional space, using adapted Wilson and Callan-Symanzik schemes. The presence of a characteristic frequency in the system - the frequency of the spontaneous oscillations at the transition - imposes to perform a scale-dependant frame transformation during the renormalization procedure. We perform two-loop order calculations in perturbation theory, and show that the universality class of the model is described, in a suited oscillating frame, by the fixed point of the dissipative O(2) dynamics. Then, while the dynamics is highly out of equilibrium and breaks the detailed-balance relations, a generalized fluctuation-dissipation relation is asymptotically recovered at the transition. This relation imposes strong constraints on the main experimental observables: the two-point correlation function and the linear response function to an external sinusoidal stimulus.
Les etonnantes performances de l'organe auditif des mammiferes sont notamment dues aux proprietes generiques des oscillateurs critiques couples qui constituent le systeme. Cette these presente une etude des proprietes critiques generiques des systemes spatialement etendus d'oscillateurs stochastiques couples, operant dans le voisinage d'une instabilite oscillante homogene ou bifurcation de Hopf. Dans ce contexte, cette bifurcation constitue un point critique dynamique hors equilibre, exhibant des proprietes universelles qui sont canoniquement decrites par l'equation Ginzburg-Landau complexe en presence de bruit. La formulation du probleme en termes d'une theorie statistique dynamique des champs non hamiltonienne nous permet d'etudier le comportement critique du systeme a l'aide des techniques de la renormalisation dynamique perturbative. Dans un cas particulier, une analogie exacte avec le modele O(2) dynamique nous permet d'ecrire une relation generalisee de la relation fluctuation-dissipation et de deduire le comportement critique du systeme directement a partir des etudes anterieures. Dans le cas general, nous etablissons la structure du groupe de renormalisation de la theorie dans un espace de dimension 4-epsilon, en lui adaptant les schemas de renormalisation de Wilson et de Callan-Symanzik. La presence d'une frequence caracteristique dans le systeme - la frequence des oscillations spontanees a la transition - impose d'associer aux transformations de renormalisation un changement de referentiel oscillant dependant de l'echelle. Nous effectuons le calcul a l'ordre de deux boucles en theorie des perturbations, et montrons que la classe d'universalite du modele est decrite par le point fixe du modele dynamique dissipatif O(2) dans un referentiel oscillant bien choisi. Ainsi, bien que la dynamique soit hautement hors equilibre et brise les relations de bilan detaille, une relation fluctuation-dissipation generalisee est asymptotiquement restauree a la transition. Cette relation prevoit l'existence de fortes contraintes sur les principales observables experimentales : la fonction de correlation a deux points et la fonction de reponse lineaire a un stimulus sinusoidal.