Travelling waves for the Gross-Pitaevskii equation
Ondes progressives pour les équations de Gross-Pitaevskii
Résumé
This PhD thesis is devoted to the travelling waves in the Gross-Pitaevskii equation, and the solitary waves in the generalised Kadomtsev-Petviashvili equations.
The Gross-Pitaevskii equation is a model for Bose-Einstein condensates, superconductivity, superfluidity or non-linearoptics. The generalised Kadomtsev-Petviashvili equations arise in the study of weakly non-linear, dispersive waves, and sound waves in anti-ferromagnetics.
Here, we investigate the existence properties and the asymptotic behaviour of such waves. We first establish the non-existence of non-constant supersonic travelling waves of finite energy in the Gross-Pitaevskii equation in dimension larger than two, and of non-constant sonic travelling waves of finite energy in the Gross-Pitaevskii equation in dimension two. We then describe the asymptotic behaviour of subsonic travelling waves of finite energy in the Gross-Pitaevskii equation, and of solitary waves in the generalised Kadomtsev-Petviashvili equations, in dimension larger than two.
The Gross-Pitaevskii equation is a model for Bose-Einstein condensates, superconductivity, superfluidity or non-linearoptics. The generalised Kadomtsev-Petviashvili equations arise in the study of weakly non-linear, dispersive waves, and sound waves in anti-ferromagnetics.
Here, we investigate the existence properties and the asymptotic behaviour of such waves. We first establish the non-existence of non-constant supersonic travelling waves of finite energy in the Gross-Pitaevskii equation in dimension larger than two, and of non-constant sonic travelling waves of finite energy in the Gross-Pitaevskii equation in dimension two. We then describe the asymptotic behaviour of subsonic travelling waves of finite energy in the Gross-Pitaevskii equation, and of solitary waves in the generalised Kadomtsev-Petviashvili equations, in dimension larger than two.
Ce mémoire de thèse porte sur les ondes progressives pour l'équation de Gross-Pitaevskii, et les ondes solitaires pour les équations de Kadomtsev-Petviashvili.
L'équation de Gross-Pitaevskii est un modèle pour l'analyse des condensats de Bose-Einstein, de la supraconductivité, de la superfluidité ou de l'optique non linéaire. Les équations de Kadomtsev-Petviashvili décrivent l'évolution d'ondes dispersives, faiblement non linéaires, et des ondes sonores dans les matériaux anti-ferromagnétiques.
On s'intéresse ici aux propriétés d'existence et au comportement asymptotique de ces ondes. On montre la non-existence des ondes progressives supersoniques, non constantes, d'énergie finie, pour
l'équation de Gross-Pitaevskii en dimension supérieure ou égale à deux, puis celle des ondes progressives soniques, non constantes, d'énergie finie, en dimension deux. On décrit ensuite le comportement asymptotique des ondes progressives subsoniques, d'énergie finie, pour l'équation de Gross-Pitaevskii, puis celui des ondes solitaires pour les équations de Kadomtsev-Petviashvili en dimension supérieure ou égale à deux.
L'équation de Gross-Pitaevskii est un modèle pour l'analyse des condensats de Bose-Einstein, de la supraconductivité, de la superfluidité ou de l'optique non linéaire. Les équations de Kadomtsev-Petviashvili décrivent l'évolution d'ondes dispersives, faiblement non linéaires, et des ondes sonores dans les matériaux anti-ferromagnétiques.
On s'intéresse ici aux propriétés d'existence et au comportement asymptotique de ces ondes. On montre la non-existence des ondes progressives supersoniques, non constantes, d'énergie finie, pour
l'équation de Gross-Pitaevskii en dimension supérieure ou égale à deux, puis celle des ondes progressives soniques, non constantes, d'énergie finie, en dimension deux. On décrit ensuite le comportement asymptotique des ondes progressives subsoniques, d'énergie finie, pour l'équation de Gross-Pitaevskii, puis celui des ondes solitaires pour les équations de Kadomtsev-Petviashvili en dimension supérieure ou égale à deux.
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